Delvis integration

I infinitesimalregning, og særligt i matematisk analyse, er delvis integration (eller partiel integration) en proces, som finder integralet af et produkt af en funktion i form af integralet af dens afledte- og stamfunktion. Det bruges ofte til at omdanne stamfunktionen af produktet af funktioner til en stamfunktion, hvor der nemmere kan findes en løsning.^[1] Reglen kan afledes ved at integrere produktreglen af differentiationen.

Hvis ${\displaystyle u=u(x)}$ og ${\displaystyle du=u'(x)dx}$ , mens ${\displaystyle v=v(x)}$ og ${\displaystyle dv=v'(x)dx}$ , da vil delvis integration give:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}}$

eller mere kompakt:

${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.}$

Matematikeren Brook Taylor opdagede delvis integration, og udgav sin første beskrivelse af det i 1715.^[2][3] Mere generelle formuleringer af delvis integration eksisterer for Riemann–Stieltjes og Lebesgue–Stieltjes integraler. Den særskilte analoge sekvens kaldes delvis summatino.

Integration ved substitution

En anden metode til at beregne en stamfunktion er integration ved substitution.^[4]

Metoden foregår sådan, at man indsætter (substituerer) ${\displaystyle t}$ i stedet for én af de to funktioner, som integranden består af; ligeledes indsætter man ${\displaystyle dt}$ . Ved bestemt integral skal man huske at skifte grænser fra "${\displaystyle x}$-grænser" til de tilsvarende "${\displaystyle t}$-grænser".^[5]

Partiel integration eller integration ved substitution

Det kan være vanskeligt at skelne mellem, hvornår man bør vælge partiel integration, og hvornår man bør anvende integration ved substitution.^{[6][7][8][9][10]}

1. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 17. februar 2021. Hentet 27. april 2020.
2. ^ "Brook Taylor". History.MCS.St-Andrews.ac.uk. Arkiveret fra originalen 2. juni 2018. Hentet 25. maj 2018.
3. ^ "Brook Taylor". Stetson.edu. Arkiveret fra originalen 3. januar 2018. Hentet 25. maj 2018.
4. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 3. november 2013. Hentet 27. april 2020.
5. ^ Hebsgaard (1990) s. 38-43
6. ^ Integration durch Substitution - Substitutionsregel 1d - YouTube
7. ^ Integration durch Substitution - Substitutionsregel für Produkte - YouTube
8. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 2. november 2013. Hentet 27. april 2020.
9. ^ "Arkiveret kopi". Arkiveret fra originalen 2. november 2013. Hentet 27. april 2020.
10. ^ Integration durch Substitution - Substitutionsregel 1c - YouTube